Что такое фракталы

Фракталы по своей природе парадоксальны. Они удивительно просты, и в то же время, бесконечно сложны.

В 1975 году Бенуа Мандельброт, гений-математик придумал слово фрактал (от латинского fractus — разбитый, раздробленный) для обозначения особых математических множеств: самоподобных, обладающих нетривиальной структурой на всех масштабах. Если вы знакомы с темой статьи, то первое что вам придет в голову, если попросить подумать о фракталах — это фрактал Мандельброта (правильнее «Множество Мандельброта»). Визуальное представление этого множества стало стандартом де-факто для иллюстрации фракталов. Но фракталов намного больше!

Первые исследования

Фракталы стали использоваться еще до того, как появился термин «фрактал». В самом начале XX века Льюис Фрай Ричардсон, исследуя протяженность побережья Англии. Он понял, что результаты будет сильно зависеть от инструмента, с помощью которого проводить измерения. Например, если измерять метровой линейкой, результат будет один. Если измерять в меньшем масштабе, сантиметровой линейкой — можно посчитать больше изломов, и в результате получится большее число. Продолжая логические заключения можно прийти к выводу, что ограничивая конечную площадь, береговая линия будет иметь бесконечную длину (этот парадокс получил название парадокс Ричардсона). На деле же это не происходит, из-за погрешностей и конечности размеров инструментов, которыми мы измеряем.

Этот же парадокс особенно наглядно проявляется во фрактале «Снежинка Коха». Чтобы построить этот фрактал, нужно взять треугольник и в каждом отрезке, составляющем его стороны заменить треть в середине на треугольный выступ. Затем в получившейся фигуре повторить операцию. И снова, и снова. При этом каждый выступ существенно увеличивает длину сегмента, а площадь при этом увеличивается незначительно и с уточнением контура стремится к определенному конечному значению. Периметр фигуры при этом стремится к бесконечности. Мандельброт использовал этот пример для формулирования концепции фрактальной размерности и доказательства, что измерение длины прибрежной линии

Странно, если все-таки фракталы были с нами все время, почему мы их заметили только 30 лет назад?

Терминология

Прежде, чем мы углубимся в детали, необходимо договориться о терминологии. Все фракталы в определенной степени обладают свойством самоподобности. Это означает, что если взять часть фрактала, и увеличив ее, изучить детали, то вы обнаружите уменьшенную копию целого фрактала. Типичная иллюстрация этого свойства — ветвь папоротника. Каждая веточка, исходящая из основной ветви является ее уменьшенной копией.

В математике такие самоподобные орнаменты являются результатом простой формулы, которая повторяется раз за разом. Такой процесс применения одного и того же действия к результатам прошлого вычисления называется «итерацией». Взгляните на раковину моллюска наутилуса. Каждая отдельная «комнатка» является уменьшенной версией предыдущей. И мы можем нарисовать сколь угодно точную модель раковины, нарисовав первую «комнатку», и затем повторяя ее в уменьшенном виде. Такой процесс, при котором для вычисления следующего шага нужны результаты предыдущего называется «рекурсией».

И еще один комментарий по поводу размерности и геометрии. Мы все живем в трехмерном пространстве, и вполне привыкли к нему. Трехмерное пространство определяется тремя величинами — длинной, шириной и глубиной. Также легко нам дается и двумерное пространство (рисунок на бумаге, например), которое определяется двумя величинами — длинной и шириной. Но фракталы не так просты! Эти сложные фигуры с бесконечно-длинным контуром не могут быть полностью описаны в рамках обычных измерений, поэтому для них существуют специальные «фрактальные размерности», которые определяются тем, насколько сложна получившаяся фигура.

Фракталы в природе.

Мы уже упомянули два природных фрактала — это ветвь папоротника и раковина наутилуса. Фрактальную природу имеют также и кристаллы, например, кристалл воды — снежинка. Одним из наиболее ярких примеров фрактала является подвид цветной капусты «Романеско». Форма романеско похожа на естественный фрактал: каждый бутон состоит из набора меньших бутонов, организованных в форме ещё одной логарифмической спирали. Такая самоподобная структура повторяется несколько раз, однако прекращается на более мелких уровнях.

Фракталы в математике.

Первые фракталы стали исследоваться в математике еще до появления названия — начиная с конца XIX века. Существует простая рекурсивная процедура для получения изображения фрактала на плоскости, как в примере со «Снежинкой Коха» выше. Берется любая ломанная кривая, которая называется «Генератор», и каждый отрезок в этой кривой заменяется на ломанную, подобную генератору. Этот процесс продолжается до бесконечности. Таким образом строятся фракталы: «Снежинка Коха», «Кривая Дракона», «Кривая Минковского» и другие. Аналогично строятся фракталы, получающиеся не из кривых, а из множеств: «Треугольник Серпинского», «Губка Менгера» и другие.

Самые интересные и необычные фракталы возникают при изучении поведения динамических систем. Допустим, F(z) — это многочлен, а z0 — комплексное число. Для построения фрактала рассматривается бесконечная последовательность zi=F(zi-1), то есть z1=F(z0), z2=F(z1)=F(F(z0)) и так далее. Эта последовательность может стремиться к бесконечности или к какому-то конечному пределу, может демонстрировать циклическое или хаотическое поведение. Множество точек фракталов составляют такие z0, что последовательность демонстрирует один конкретный вид поведения.

Например, для знаменитого множества Мандельброта F(z)=z2+c, и рассматриваются такие z0, чтобы последовательность не стремилась к бесконечности.

Использование фракталов

После публикации Бенуа Мандельбротом работ по фракталам в 1975 году, первое практическое применение появилось в 1978 году — Лорен Карпентер использовал фрактальные алгоритмы для создания удивительно реалистичных горных массивов в компьютерной графике.

В 1990 году Натан Коэн, вдохновленный «Снежинкой Коха» создал более компактную и чувствительную антенну используя только кусок провода и плоскогубцы. Сегодня антенны, построенные как фракталы, используются во многих мобильных телефонах и не только.

В кибернетике фракталы используются в алгоритмах сжатия изображений, в биологии — для моделирования популяций и для описания кровеносных систем.