Системы счисления

Записывая какое-либо число арабскими цифрами, мы сами того не замечая, пользуемся позиционной системой счисления. Это означает, что значение записанной цифры зависит от позиции, на которой она записана. К примеру, в числе 1011 записаны три единицы, но первая единица означает тысячу, вторая — десять, а последняя — один (если мы считаем в десятичной системе — системе с основанием 10)

История

Изобретение позиционной нумерации, основанной на поместном значении цифр, приписывается шумерам и вавилонянам. В более поздний период такая нумерация была развита индусами и имела неоценимые последствия в истории цивилизации. К числу таких систем относится десятичная система счисления, возникновение которой связано со счётом на пальцах. В средневековой Европе она появилась через итальянских купцов, в свою очередь заимствовавших её у мусульман.

Какие могут быть основания в системе счисления

Теоретически может быть система и с отрицательным, с дробным основанием, с иррациональным или даже с комплексным. Все дело в том, что практической ценности в таких системах пока нет, и ими никто не пользуется. На сегодняшний день, помимо привычной десятичной системы также используются шестнадцатеричная и двоичная — благодаря компьютерам (компьютеры «мыслят» в двоичной системе, а 16 — это 4-я степень двойки, и запись в шестнадцатеричной системе достаточно удобная для работы легко преобразуется в двоичную), а также шестидесятеричная (измерение углов и времени). В прошлом использовались также пятеричная система (в Древнем Китае) и двадцатеричная (у ацтеков в Мексике).

Использование

В традиционной десятичной системе каждая позиция умножается на степень 10: 1, 10, 100, 1000, 10000 и так далее — нам это удобно, потому что мы изначально учились считать десятками, по количеству пальцев на руках. И цифр используется тоже десять, а 10 называется базисом или основанием. В то же время вся электронная техника считает по другому — компьютер на уровне микросхем может различить только два состояния: «нет сигнала» (0) и «есть сигнал» (1), поэтому изначально программы для компьютера записывались в виде последовательностей нулей и единиц (до тех пор, пока не были созданы языки программирования и системы ввода и вывода информации). Числа для компьютеров выглядят также. Эта система называется двоичной (или, по-другому, система с базисом (2): в ней всего две цифры (0 и 1), и каждая цифра умножается на два в степени, соответствующей номеру позиции. Например, запишем число 5010 (когда используется несколько различных систем счисления, принято указывать индексом снизу базис системы, записанный в десятичном виде):

5010 = (32 + 16 + 2)10= (1•25 + 1•24 + 0•23 + 0•22 + 1•21 + 0•20)=1100102

Перевод из одной системы в другую

Чтобы перевести число из одной системы счисления в другую, нужно сначала разложить это число на слагаемые, кратные степеням базиса. Чтобы не пугать математическими формулировками, я покажу это на примере. Допустим, нам нужно перевести число 315 из привычной десятичной системы в шестнадцатеричную. В шестнадцатеричной системе для обозначения цифр больше 9 используются буквы латинского алфавита: 10=A, 11=B, 12=C, 13=D, 14=E, 15=F. Сначала разложим 315 на слагаемые. Будем делать это путем деления на 16:

315 / 16 = частное 19, остаток 11; 11 — это первая цифра (записывается с конца), и обозначается B.
19 / 16 = частное 1, остаток 3 - это вторая цифра.
1 / 16 = частное 0, остаток 1 — это последняя цифра.

Таким образом получаем число 13B16

Материалы, использованные для подготовки статьи: Wikipedia